Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения

является функция

где c - произвольная константа.

• 1. Число e иррационально и даже трансцендентно. Его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e - нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.
• 2. Число e является вычислимым (а значит, и арифметическим) числом.

Формула Эйлера, в частности

5. т. н. "интеграл Пуассона" или "интеграл Гаусса"

8. Представление Каталана:

9. Представление через произведение:

10. Через числа Белла:

11. Мера иррациональности числа e равна 2 (что есть наименьшее возможное значение для иррациональных чисел).

Доказательство иррациональности

Предположим, что

где a и b - натуральные числа. Учитывая данное равенство и рассматривая разложение в ряд:

получаем следующее равенство:

Представим данную сумму в виде суммы двух слагаемых, одно из которых - сумма членов ряда по n от 0 до a , а второе - сумма всех остальных членов ряда:

Теперь перенесем первую сумму в левую часть равенства:

Умножим обе части полученного равенства на. Получим

Теперь упростим полученное выражение:

Рассмотрим левую часть полученного равенства. Очевидно, что число целое. Целым является также и число, поскольку (отсюда следует, что все числа вида целые). Тем самым левая часть полученного равенства - целое число.

Перейдем теперь к правой части. Эта сумма имеет вид

По признаку Лейбница этот ряд сходится, и его сумма S есть вещественным числом, заключенное между первым слагаемым и суммой первых двух слагаемых (со знаками), т.е.

Оба эти числа при лежат между 0 и 1. Следовательно, т.е. - правая часть равенства - не может быть целым числом. Получили противоречие: целое число не может быть равно числу, которое не является целым. Это противоречие доказывает, что число e не является рациональным, а следовательно является иррациональным.

Материал этой статьи представляет собой начальную информацию про иррациональные числа . Сначала мы дадим определение иррациональных чисел и разъясним его. Дальше приведем примеры иррациональных чисел. Наконец, рассмотрим некоторые подходы к выяснению, является ли заданное число иррациональным или нет.

Навигация по странице.

Определение и примеры иррациональных чисел

При изучении десятичных дробей мы отдельно рассмотрели бесконечные непериодические десятичные дроби. Такие дроби возникают при десятичном измерении длин отрезков, несоизмеримых с единичным отрезком. Также мы отметили, что бесконечные непериодические десятичные дроби не могут быть переведены в обыкновенные дроби (смотрите перевод обыкновенных дробей в десятичные и обратно), следовательно, эти числа не являются рациональными числами , они представляют так называемые иррациональные числа.

Так мы подошли к определению иррациональных чисел .

Определение.

Числа, которые в десятичной записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби, называются иррациональными числами .

Озвученное определение позволяет привести примеры иррациональных чисел . Например, бесконечная непериодическая десятичная дробь 4,10110011100011110000… (количество единиц и нулей каждый раз увеличивается на одну) является иррациональным числом. Приведем еще пример иррационального числа: −22,353335333335… (число троек, разделяющих восьмерки, каждый раз увеличивается на две).

Следует отметить, что иррациональные числа достаточно редко встречаются именно в виде бесконечных непериодических десятичных дробей. Обычно они встречаются в виде , и т.п., а также в виде специально введенных букв. Самыми известными примерами иррациональных чисел в такой записи являются арифметический квадратный корень из двух , число «пи» π=3,141592… , число e=2,718281… и золотое число .

Иррациональные числа также можно определить через действительные числа , которые объединяют рациональные и иррациональные числа.

Определение.

Иррациональные числа – это действительные числа, не являющиеся рациональными.

Является ли данное число иррациональным?

Когда число задано не в виде десятичной дроби, а в виде некоторого , корня, логарифма и т.п., то ответить на вопрос, является ли оно иррациональным, во многих случаях достаточно сложно.

Несомненно, при ответе на поставленный вопрос очень полезно знать, какие числа не являются иррациональными. Из определения иррациональных чисел следует, что иррациональными числами не являются рациональные числа. Таким образом, иррациональными числами НЕ являются:

• конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.

Также не является иррациональным числом любая композиция рациональных чисел, связанных знаками арифметических операций (+, −, ·, :). Это объясняется тем, что сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел является рациональным числом. Например, значения выражений и являются рациональными числами. Здесь же заметим, что если в подобных выражениях среди рациональных чисел содержится одно единственное иррациональное число, то значение всего выражения будет иррациональным числом. Например, в выражении число - иррациональное, а остальные числа рациональные, следовательно - иррациональное число. Если бы было рациональным числом, то из этого следовала бы рациональность числа , а оно не является рациональным.

Если же выражение, которым задано число, содержит несколько иррациональных чисел, знаки корня, логарифмы, тригонометрические функции, числа π , e и т.п., то требуется проводить доказательство иррациональности или рациональности заданного числа в каждом конкретном случае. Однако существует ряд уже полученных результатов, которыми можно пользоваться. Перечислим основные из них.

Доказано, что корень степени k из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под корнем является k-ой степенью другого целого числа, в остальных случаях такой корень задает иррациональное число. Например, числа и - иррациональные, так как не существует целого числа, квадрат которого равен 7 , и не существует целого числа, возведение которого в пятую степень дает число 15 . А числа и не являются иррациональными, так как и .

Что касается логарифмов, то доказать их иррациональность иногда удается методом от противного. Для примера докажем, что log 2 3 является иррациональным числом.

Допустим, что log 2 3 рациональное число, а не иррациональное, то есть его можно представить в виде обыкновенной дроби m/n . и позволяют записать следующую цепочку равенств: . Последнее равенство невозможно, так как в его левой части нечетное число , а в правой части – четное. Так мы пришли к противоречию, значит, наше предположение оказалось неверным, и этим доказано, что log 2 3 - иррациональное число.

Заметим, что lna при любом положительном и отличном от единицы рациональном a является иррациональным числом. Например, и - иррациональные числа.

Также доказано, что число e a при любом отличном от нуля рациональном a является иррациональным, и что число π z при любом отличном от нуля целом z является иррациональным. К примеру, числа - иррациональные.

Иррациональными числами также являются тригонометрические функции sin , cos , tg и ctg при любом рациональном и отличном от нуля значении аргумента. Например, sin1 , tg(−4) , cos5,7 , являются иррациональными числами.

Существуют и другие доказанные результаты, на мы ограничимся уже перечисленными. Следует также сказать, что при доказательстве озвученных выше результатов применяется теория, связанная с алгебраическими числами и трансцендентными числами .

В заключение отметим, что не стоит делать поспешных выводов относительно иррациональности заданных чисел. К примеру, кажется очевидным, что иррациональное число в иррациональной степени есть иррациональное число. Однако это не всегда так. В качестве подтверждения озвученного факта приведем степень . Известно, что - иррациональное число, а также доказано, что - иррациональное число, но - рациональное число. Также можно привести примеры иррациональных чисел, сумма, разность, произведение и частное которых есть рациональные числа. Более того, рациональность или иррациональность чисел π+e , π−e , π·e , π π , π e и многих других до сих пор не доказана.

Список литературы.

• Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой I {\displaystyle \mathbb {I} } в полужирном начертании без заливки. Таким образом: I = R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {I} =\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} } , то есть множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков , несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Иррациональными являются:

  Примеры доказательства иррациональности

  Корень из 2

  Допустим противное: 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} рационален , то есть представляется в виде дроби m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} , где m {\displaystyle m} - целое число , а n {\displaystyle n} - натуральное число .

  Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^{2}} .

  История

  Античность

  Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. - ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены [ ] .

  Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу . Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок [ ] .

  Нет точных данных о том, иррациональность какого числа было доказано Гиппасом. Согласно легенде он нашёл его изучая длины сторон пентаграммы. Поэтому разумно предположить, что это было золотое сечение [ ] .

  Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

  Что такое иррациональные числа? Почему они так называются? Где они используются и что собой представляют? Немногие могут без раздумий ответить на эти вопросы. Но на самом деле ответы на них довольно просты, хоть нужны не всем и в очень редких ситуациях

  Сущность и обозначение

  Иррациональные числа представляют собой бесконечные непериодические Необходимость введения этой концепции обусловлена тем, что для решения новых возникающих задач уже было недостаточно ранее имеющихся понятий действительных или вещественных, целых, натуральных и рациональных чисел. Например, для того, чтобы вычислить, квадратом какой величины является 2, необходимо использовать непериодические бесконечные десятичные дроби. Кроме того, многие простейшие уравнения также не имеют решения без введения концепции иррационального числа.

  Это множество обозначается как I. И, как уже ясно, эти значения не могут быть представлены в виде простой дроби, в числителе которой будет целое, а в знаменателе -

  Впервые так или иначе с этим явлением столкнулись индийские математики в VII веке когда было обнаружено, что квадратные корни из некоторых величин не могут быть обозначены явно. А первое доказательство существования подобных чисел приписывают пифагорейцу Гиппасу, который сделал это в процессе изучения равнобедренного прямоугольного треугольника. Серьезный вклад в изучение этого множества привнесли еще некоторые ученые, жившие до нашей эры. Введение концепции иррациональных чисел повлекло за собой пересмотр существовавшей математической системы, вот почему они так важны.

  Происхождение названия

  Если ratio в переводе с латыни - это "дробь", "отношение", то приставка "ир"
  придает этому слову противоположное значение. Таким образом, название множества этих чисел говорит о том, что они не могут быть соотнесены с целым или дробным, имеют отдельное место. Это и вытекает из их сущности.

  Место в общей классификации

  Иррациональные числа наряду с рациональными относится к группе вещественных или действительных, которые в свою очередь относятся к комплексным. Подмножеств нет, однако различают алгебраическую и трансцендентную разновидность, о которых речь пойдет ниже.

  

  Свойства

  Поскольку иррациональные числа - это часть множества действительных, то к ним применимы все их свойства, которые изучаются в арифметике (их также называют основными алгебраическими законами).

  a + b = b + a (коммутативность);

  (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность);

  a + (-a) = 0 (существование противоположного числа);

  ab = ba (переместительный закон);

  (ab)c = a(bc) (дистрибутивность);

  a(b+c) = ab + ac (распределительный закон);

  a x 1/a = 1 (существование обратного числа);

  Сравнение также проводится в соответствии с общими закономерностями и принципами:

  Если a > b и b > c, то a > c (транзитивность соотношения) и. т. д.

  Разумеется, все иррациональные числа могут быть преобразованы с помощью основных арифметических действий. Никаких особых правил при этом нет.

  

  Кроме того, на иррациональные числа распространяется действие аксиомы Архимеда. Она гласит, что для любых двух величин a и b справедливо утверждение, что, взяв a в качестве слагаемого достаточное количество раз, можно превзойти b.

  Использование

  Несмотря на то что в обычной жизни не так уж часто приходится сталкиваться с ними, иррациональные числа не поддаются счету. Их огромное множество, но они практически незаметны. Нас повсюду окружают иррациональные числа. Примеры, знакомые всем, - это число пи, равное 3,1415926..., или e, по сути являющееся основанием натурального логарифма, 2,718281828... В алгебре, тригонометрии и геометрии использовать их приходится постоянно. Кстати, знаменитое значение "золотого сечения", то есть отношение как большей части к меньшей, так и наоборот, также

  

  относится к этому множеству. Менее известное "серебряное" - тоже.

  На числовой прямой они расположены очень плотно, так что между любыми двумя величинами, отнесенными к множеству рациональных, обязательно встречается иррациональная.

  До сих пор существует масса нерешенных проблем, связанных с этим множеством. Существуют такие критерии, как мера иррациональности и нормальность числа. Математики продолжают исследовать наиболее значительные примеры на предмет принадлежности их к той или иной группе. Например, считается, что е - нормальное число, т. е. вероятность появления в его записи разных цифр одинакова. Что же касается пи, то относительно его пока ведутся исследования. Мерой иррациональности же называют величину, показывающую, насколько хорошо то или иное число может быть приближено рациональными числами.

  Алгебраические и трансцендентные

  Как уже было упомянуто, иррациональные числа условно разделяются на алгебраические и трансцендентные. Условно, поскольку, строго говоря, эта классификация используется для деления множества C.

  Под этим обозначением скрываются комплексные числа, которые включают в себя действительные или вещественные.

  Итак, алгебраическим называют такое значение, которое является корнем многочлена, не равного тождественно нулю. Например, квадратный корень из 2 будет относиться к этой категории, поскольку он является решением уравнения x 2 - 2 = 0.

  Все же остальные вещественные числа, не удовлетворяющие этому условию, называются трансцендентными. К этой разновидности относятся и наиболее известные и уже упомянутые примеры - число пи и основание натурального логарифма e.

  

  Что интересно, ни одно, ни второе не были изначально выведены математиками в этом качестве, их иррациональность и трансцендентность были доказаны через много лет после их открытия. Для пи доказательство было приведено в 1882 году и упрощено в 1894, что положило конец спорам о проблеме квадратуры круга, которые длились на протяжении 2,5 тысяч лет. Оно до сих пор до конца не изучено, так что современным математикам есть над чем работать. Кстати, первое достаточно точное вычисление этого значения провел Архимед. До него все расчеты были слишком приблизительными.

  Для е (числа Эйлера или Непера), доказательство его трансцендентности было найдено в 1873 году. Оно используется в решении логарифмических уравнений.

  Среди других примеров - значения синуса, косинуса и тангенса для любых алгебраических ненулевых значений.

  А свои корни они извлекли из латинского слова «ratio», что означает «разум». Исходя из дословного перевода:

  • Рациональное число — это «разумное число».
  • Иррациональное число, соответственно, «неразумное число».

  Общее понятие рационального числа

  Рациональным числом считается то число, которое можно записать в виде:

  1. Обыкновенной положительной дроби.
  2. Отрицательной обыкновенной дроби.
  3. В виде числа нуль (0).

  

  Иными словами, к рациональному число подойдет следующие определения:

  • Любое натуральное число является по своей сути рациональным, так как любое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби.
  • Любое целое число, включительно число нуль, так как любое целое число можно записать как ввиде положительной обыкновенной дроби, в виде отрицательной обыкновенной дроби, так и ввиде числа нуль.
  • Любая обыкновенная дробь, и здесь не имеет значение положительная она или отрицательная, тоже напрямую подходит к определению рационального числа.
  • Так же в определение можно отнести и смешанное число, конечную десятичную дробь либо бесконечную периодическую дробь.

  Примеры рационального числа

  Рассмотрим примеры рациональных чисел:

  • Натуральные числа — «4», «202», «200».
  • Целые числа — «-36», «0», «42».
  • Обыкновенные дроби.

  Из вышеперечисленных примеров совершенно очевидно, что рациональные числа могут быть как положительными так и отрицательными . Естественно, число 0 (нуль), которое тоже в свою очередь является рациональным числом, в тоже время не относится к категории положительного или отрицательного числа.

  Отсюда, хотелось бы напомнить общеобразовательную программу с помощью следующего определения: «Рациональными числами» — называются те числа, которые можно записать в виде дроби х/у, где х (числитель) — целое число, а у (знаменатель) — натуральное число.

  Общее понятие и определение иррационального числа

  Помимо «рациональных чисел» нам известны и так называемые «иррациональные числа». Вкратце попробуем дать определение данным числам.

  Еще древние математики, желая вычислить диагональ квадрата по его сторонам, узнали о существовании иррационального числа.
  Исходя из определения о рациональных числах, можно выстроить логическую цепь и дать определение иррациональному числу.
  Итак, по сути, те действительные числа, которые не являются рациональными, элементарно и есть иррациональными числами.
  Десятичные дроби же, выражающие иррациональные числа, не периодичны и бесконечны.
  
  

  Примеры иррационального числа

  Рассмотрим для наглядности небольшой пример иррационально числа. Как мы уже поняли, бесконечные десятичные непериодические дроби называются иррациональными, к примеру:

  • Число «-5,020020002… (прекрасно видно, что двойки разделены последовательностью из одного, двух, трех и т.д. нулей)
  • Число «7,040044000444… (здесь ясно, что число четверок и количество нулей каждый раз цепочкой увеличивается на единицу).
  • Всем известное число Пи (3,1415…). Да, да — оно тоже является иррациональным.

  Вообще все действительные числа являются как рациональными так и иррациональными. Говоря простыми словами, иррациональное число нельзя представить ввиде обыкновенной дроби х/у.

  Общее заключение и краткое сравнение между числами

  Мы рассмотрели каждое число по отдельности, осталось отличие между рациональным числом и иррациональным:

  1. Иррациональное число встречается при извлечении квадратного корня, при делении окружности на диаметр и т.д.
  2. Рациональное число представляет обыкновенную дробь.

  Заключим нашу статью несколькими определениями:

  • Арифметическая операция, произведенная над рациональным числом, кроме деления на 0 (нуль), в конечном результате приведет тоже к рациональному числу.
  • Конечный результат же, при совершении арифметической операции над иррациональным числом, может привести как к рациональному так и к иррациональному значению.
  • Если же в арифметической операции принимают участие и те и другие числа (кроме деления или умножения на нуль), то результат нам выдаст иррациональное число.